Når en person går ud af et casino, vil det følgende uundgåelige spørgsmål altid dukke op: ”Hvorfor tabte jeg?” De fleste mennesker, der spiller casinospil, er spillere, som taber. Det skyldes, at de fleste casinospil af natur har en negativ forventning til spilleren. Dette betyder, at for hver indsats, der foretages i spillet; maskine eller bordspil, giver et betydeligt mindre beløb end det satsede beløb over tid.
Hvis 1 million spillere satser 1 dollar, og én spiller vinder 500k, så vil casinoet få et overskud på 500k, og et gennemsnitligt tab på 50 cent pr. indsats vil blive erkendt. På nogle spilleautomater er den annoncerede tilbagebetaling ofte i nærheden af 97-99%. Dette er over hele maskinens levetid, hvor en maskine kan samle 100 millioner dollars i indsatser i løbet af sin levetid. Det er lidt anderledes med bordspil, fordi de inkluderer spillerens færdigheder og den fordel i procenter, som casinoet har, hvilket varierer fra spiller til spiller. Men det samme generelle princip er gældende.
Denne artikel er en dybdegående analyse af matematikken i casinospil. Informationerne, der præsenteres i denne artikel, er gyldige for live blackjackspil såvel som online-spil. De blackjack-softwareprogrammer, som online casinoer benytter inkluderer dog alle kortene i hver nye runde af spillet. Analysen vil være gældende for blackjack-spillet. Blackjack er et spil med dynamiske sandsynligheder og skiftende procenter. Men selvom procenterne konstant ændrer sig, forbliver den akkumulerede procentdel af den samlede fordel konstant.
Dette opnås ved at tage summen af fordelene frem for alle muligheder. For eksempel, hvis en hånd samlet har en postiv fordel på 5% og en anden hånd har en negativ fordel på -6%, end den samlede fordel for de to hænder på +1%. Når læseren forstår dette spil, vil det være let at oversætte koncepterne til ethvert andet casinospil med en statistisk fordel i forhold til spilleren.
Spilstatistikker
Det at forstå statistikkerne, som er involveret i casinospil er afgørende for evalueringen af resultaterne. Denne påstand gælder både for spilleren og casinoerne. Den viden, der præsenteres her ligger i det statistiske sandsynlighedsområde, og er påkrævet for at bestemme, om resultaterne er gode eller dårlige.
De fleste casinospil afspejler det matematiske koncept, der kaldes ”Loven om uafhængige forsøg.” Dette fremfører, at tidligere begivenheder ikke har nogen betydning for fremtidige begivenheder. Dette kan let ses i roulette og craps. For eksempel, når man flipper en mønt, er der en 50% chance for, at udfaldet vil være krone, og en 50% chance for, at udfaldet ville være plat.
Hvis mønten lander på krone 10 gange i træk, vil det næste flip igen være på 50%. I blackjack påvirker udfaldene i de tidligere runder direkte udfaldene, som sker senere. Blackjack har hukommelse, og loven om uafhængige forsøg er ikke gyldig.
Hvordan er blackjack anderledes?
I blackjack har ethvert kort en bestemt værdi, som lægges til eller trækkes fra den oprindelige fordel, som casinoet har over spilleren. Den oprindelige fordel er afledt af spillets regler. Når der gives nok af de rigtige kort, går fordelen til spillernes favør. I blackjack, når et kort bliver dealet med en værdi på es eller 10, stiger casinoets fordel i forhold til spilleren. Når et kort med en lavere værdi sættes i spil (2-7) falder casinoets fordel, og når nok af disse kort deales, har spilleren en fordel i forhold til casinoet.
Den procentmæssige fordel, som casinoet har i forhold til spilleren (i blackjack) eller omvendt, er ikke statisk. Der er mange tilgange som man kan introducere for at holde styr på de skiftende procentdele. Det simpleste og det, der er mindst udsat for spillerfejl, er, tællesystem ”Hi/Lo”. Dette system tildeler værdier på enten: 1, -1 eller 0 til kortene. Alle kort fra 2-6 tildeles en værdi på 1, og alle kort med en pålydende værdi på 7, 8 og 9 har en værdi på 0. Alle 10’ere, billedkort og esser, har en værdi på -1. Når kortene deales, lægger spilleren de tildelte værdier sammen. Summen af disse kort efter en runde blackjack kaldes den løbende optælling.
I en positiv løbende optælling, normaliseres værdien til et gennemsnit af, hvor mange flere højere kort end lave kort (eller lave kort end høje kort), der er pr. dæk. For at fuldføre dette, estimerer spilleren, hvor mange dæk, der er tilbage, og den løbende optælling bliver efter divideret med, hvor mange dæk, der er tilbage, og denne værdi kaldes den rigtig optælling. For eksempel, hvis en spiller har observeret tre dæk i en seks-dæks-shoe, der bliver spillet, og den løbende optælling er på 15, er der blevet spillet femten flere lave kort (2-6) end høje kort (10’ere, billedkort og esser) gennem de første tre dæk i ”the shoe”; spilleren tager derefter den løbende optælling på 15, og dividerer med det resterende antal af dæk, som er 3, og dette vil give en rigtig optælling på 5.
Spilleren trækker en forskudt værdi fra: normalt 1, der tager hensyn til casinoets fordel ved starten af dækket eller ”the shoe” (denne afsats er afhængig af flere faktorer, såsom spillereglerne og antallet af anvendte dæk) og dette tal, er antallet af enheder, som spilleren vil satse på næste hånd. For hver hele enhedsforøgelse (plus eller minus), der observeres i den rigtig optælling, øges spillerens fordel med henholdsvis 0,5%, positiv eller negativ.
Når der stadig er en overvægt af høje kort, er den rigtige optælling høj, og dermed har spilleren en fordel i forhold til casinoet. Dette sker på grund af tre ting. For det første bliver blackjacks dealet oftere, og da udbetalingen på en blackjack er asymmetrisk (spilleren får en udbetaling på 3:2, hvis han/hun har en blackjack, men taber kun sin første indsats på en dealer-blackjack.), hvilket er en fordel for spilleren. For det andet bliver nogle af spillernes muligheder mere værdifulde, såsom at splitte eller fordoble.
Normalt vil en spiller gerne se et højt kort, når spilleren splitter eller fordobler, eller hvis spilleren benytter sig af de muligheder, når dealeren er svag og et højt kort, tvinger dealeren til at et break (et hit, der vil få dealeren til at ramme over 21). Disse spillemuligheder har et højere afkast, når det resterende kortdæk er fyldt med høje kort.
Til sidst kan spilleren variere deres strategi afhængig af sammensætningen af de resterende kort. Med en overvægt af høje kort, kan spilleren stå på mere stive hænder (i alt 12-16), fordoble oftere med et stærkere antal (kort der lig med 9, 10 eller 11) eller, når dealeren er svag og tilbøjelig til at gå over 21, burde spilleren stå. I modsætning hertil, forbyder reglerne dealeren at ændre deres strategi. Kombinationen af disse faktorer giver anledning til situationer, hvor casinoets fordel bliver overvundet, og en dygtig spiller har en fordel i forhold til huset.
Beregn din mulighed for sejr
For at bestemme, hvad beløbet bliver, som man forventer at vinde over et givet tidsrum (enten casinoets eller spilleren), er det vigtigt at have følgende tre former for informationer:
1. Indsatsstørrelse
2. Antal hænder eller spins
3. Procent-fordel
Regnestykket ser derfor således ud:
Indsatstørrelsen * Procent-fordel * Antal hænder = Forventet gevinst
Regnestykke 1
Hvis vi anvender scenariet med den forventede værdi, fx ved at slå plat eller krone, så ved vi, at der er to sider af en mønt, så der er 50% chance for, at vi lander på krone. Når vi satser en dollar pr. flip, er regnestykket for, hvor meget vi forventer at vinde med over 100 flips:
1$ (indsatsstørrelse)* 0,5% (Procent-fordel) *100 (Antal hænder) = $50
Regnestykke 2
I dette eksempel satsede vi $100 og vandt $50 på 50 af vores indsatser. Vi var også i stand til at holde den originale indsats på $1 på 50 ud af de 100 indsatser. Vi tabte også $1 på 50 af indsatserne. Dette fører til en sum på nul i dette spil. Ingen vindere ingen tabere.
Er jeg hvor jeg bør være?
Når en mønt bliver flippet, er resultatet sjældent præcis 50/50 på hver side. Derfor er det vigtigt, at vi introducerer variansbegrebet pr. antal af events. Varians er et statiskbegreb, som måler dataenes spredning. Simpelt forklaret, handler varians om, hvor langt væk den forventede værdi er fra resultatet af en prøve eller et eksperiment.
Hvis vi holder fast i plat/krone eksemplet, hjælper variansen med at besvare spørgsmålet om, hvorvidt det vil være overraskende, hvis vi observerede, at 45 gange blev det krone ud af 100 forsøg, eller hvis vi kun observerede, at 5 gange ud af 100 forsøg, blev det plat. Svarene er nej og ja. Hvis man kun får plat 5 gange ud af 100 ville det praktisk talt bevise, at du flipper med en mønt, som er vægtforskudt mønt. Det er afgørende at forstå dette koncept, så du kan evaulere dine resultater på casinospil, da en korrekt statistiskanalyse er påkrævet for at afgøre, om resultaterne (gode eller dårlige) er en funktion af held eller dygtighed. Det er grundlæggende afgørende for, om en spiller eller et casino bliver snydt.
Variansen diskuteres normalt med hensyn til standardafvigelser, og det vil fremover være tilfældet i denne artikel. Standardafvigelser er lig med variansens kvadratrod. Standardafvigelsen for en række forsøg er repræsenteret af et græsk bogstav σ (sigma) og er lig med standardafvigelsen for hver event ganget med kvadratroden af antallet af events. Den matematiske ligning ser således ud:
σ (event)* √ (antal af events) = σ (i alt)
Regnestykke 3
Følgende figur viser, hvor sandsynligt resultaterne er for at blive enten en, to og tre standardafvigelser af det forventede resultat. I den grafiske repræsentation er den forventede værdi angivet med det græske bogstav µ, og standardafvigelsen er repræsenteret med det græske bogstav σ.
I henhold til Gauss distributionskurve er der lidt over en 68% chance for, at resultatet ligger inden for en standardafvigelse, plus eller minus af den forventede værdi. Der er lidt over 95% chance for, at resultaterne ligger inden for to standardafvigelser, plus eller minus den forventede værdi. Der er cirka 99,9% chance for, at resultaterne vil være inden for tre standardafvigelser på et givet tidspunkt.
Hvis vi anvender det i forhold til scenariet med 100 flips af en mønt, kan vi konkludere, at standardafvigelsen for 100 forsøg er 10 gange (kvadratrod af 100) standardafvigelsen for et enkelt forsøg (som er 0,5), hvilket giver en standardafvigelse på 5 ud af de 100 forsøg. I scenariet med at slå plat eller krone, forventer vi, at 50 af de 100 flips vil lande på plat og 50 af de 100 vil lande på krone. Hvis du inkluderer konceptet med standardafvigelsen med plus/minus 5, er der en 68% chance for, at ud af de 100 flips, at det vil blive krone mellem 45 og 55 af gangene.
Der en 95% sandsynlighed for, at krone-antallet vil være mellem 40 og 60 (2*σ) og en 99,9% sandsynlighed for, at krone-antallet vil være mellem 35 og 65 (3* σ).
Hvis du anvender regnestykket angående den forventede værdi og standardafvigelsen på en indsats på $100 i et casinospil med en fordel på 1% i forhold til spilleren, kan følgende resultater udregnes.
Grafisk ser det således ud:
Når antallet af events stiger, bliver standardafvigelsen mindre og mindre i forhold til den forventede værdi. På et tidspunkt langs kurven krydser den forventede værdi og standardafvigelserne. På dette tidspunkt er der en 84% chance for, at standardafvigelsen vil være mindre end den forventede værdi. Det betyder, at der er en 84% chance for, at en fortjeneste vil forekomme fra dette punkt og fremadrettet, og at dine midler aldrig vil blive reduceret. Dette skæringspunkt med en fordel på 1% vises i følgende graf:
Simpliciteten i standardafvigelsen er absolut
Skæringspunktet mellem den forventede værdi og standardafvigelsen er lige under 12.000 hænder. Ved 12.000 hænder er der en 84% chance for, at den forventede værdi overgår den negative standardafvigelse, hvilket indikerer, at spillerens bankroll ikke vil gå i nul 84% af tiden. Når den samlede fordel øges, bliver ækvivalens-punktet, eller antallet af hænder, hvor den forventede værdi er lig med standardafvigelsen, opnået med færre antal hænder. Hvis du bruger den samme graf, men med en 2% fordel, viser grafen et ækvivalenspunkt, som er væsentligt lavere.
Simpliciteten i standardafvigelsens værdi er absolut
I den endelige analyse, kan vi konstatere, at casinoer ekstremt hurtigt er i stand til at nå til ækvivalenspunktet. Dette giver mening, fordi casinoer spiller spillet 24 timer i døgnet 7 dage om ugen. Og fordi næsten alle spillere spiller med en ulempe, som casinoerne tjener flere og flere penge på, og med mindre og mindre varians i forhold til deres forventede værdi. I den fjerde og i de kommende artikler vil jeg diskutere forskellige aspekter i forhold til at slås om casinospillenes profit.
